211service.com
Benfords lov og en teori om alting
I 1938 gjorde fysikeren Frank Benford en ekstraordinær opdagelse om tal. Han fandt ud af, at i mange lister over tal, der er trukket fra virkelige data, er det langt mere sandsynligt, at det førende ciffer er et 1 end et 9. Faktisk følger fordelingen af de første cifre en logaritmisk lov. Så det første ciffer er sandsynligvis 1 omkring 30 procent af tiden, mens tallet 9 kun vises fem procent af tiden.
Det er en foruroligende og kontraintuitiv opdagelse. Hvorfor er tallene ikke ligeligt fordelt i sådanne lister? Et svar er, at hvis tal har denne type fordeling, så skal det være skalainvariant. Så at skifte et datasæt målt i tommer til et målt i centimeter bør ikke ændre fordelingen. Hvis det er tilfældet, så er den eneste form, sådan en fordeling kan antage, logaritmisk.
Men selvom dette er et stærkt argument, gør det ikke noget for at forklare eksistensen af fordelingen i første omgang.
Så er der det faktum, at Benford Law synes kun at gælde for visse typer data. Fysikere har fundet ud af, at det dukker op i et utroligt udvalg af datasæt. Her er blot nogle få: områderne med søer, længden af floder, de fysiske konstanter, aktiemarkedsindekser, filstørrelser i en personlig computer og så videre.
Der er dog mange datasæt, der ikke følger Benfords lov, såsom lotteri og telefonnumre.
Hvad er forskellen mellem disse datasæt, der gør, at Benfords lov gælder eller ej? Det er svært at undslippe følelsen af, at noget dybere må foregå.
I dag giver Lijing Shao og Bo-Qiang Ma ved Peking Universitet i Kina et nyt indblik i arten af Benfords lov. De undersøger, hvordan Benfords lov gælder for tre slags statistiske fordelinger, der er meget brugt i fysik.
Disse er: Boltzmann-Gibbs-fordelingen, som er et sandsynlighedsmål, der bruges til at beskrive fordelingen af et systems tilstande; Fermi-Dirac-fordelingen, som er et mål for energierne af enkeltpartikler, der adlyder Pauli-udelukkelsesprincippet (dvs. fermioner); og endelig Bose-Einstein-fordelingen, et mål for energierne af enkeltpartikler, der ikke adlyder Pauli-udelukkelsesprincippet (dvs. bosoner).
Lijing og Bo-Qiang siger, at Boltzmann-Gibbs- og Fermi-Dirac-fordelingerne begge svinger på en periodisk måde omkring Benford-fordelingen med hensyn til systemets temperatur. Bose Einstein-fordelingen er på den anden side i overensstemmelse med Benfords lov, præcis uanset temperaturen.
Hvad skal man gøre af denne opdagelse? Lijing og Bo-Qiang siger, at logaritmiske fordelinger er et generelt træk ved statistisk fysik og derfor kan være et mere grundlæggende princip bag naturens kompleksitet.
Det er en spændende idé. Kunne det være, at Benfords lov antyder en slags underliggende teori, der styrer naturen af mange fysiske systemer? Måske.
Men hvad så med datasæt, der ikke er i overensstemmelse med Benfords lov? Enhver anstændig forklaring skal forklare, hvorfor nogle datasæt følger loven, og andre ikke gør, og det ser ud til, at Lijing og Bo-Qiang er så langt fra dette som nogensinde.
Ref: arxiv.org/abs/1005.0660 : Den betydelige cifferlov i statistisk fysik