Denne algoritme kan fortælle, hvilke talsekvenser et menneske vil finde interessante

En af matematikkens mærkelige egenskaber er dens skønhed. Men præcis, hvad matematikere mener med skønhed, er svært at fange.

Det måske mest berømte eksempel er Eulers forhold, f.eks jeg π + 1 = 0, hvilket afslører en dyb forbindelse mellem tilsyneladende ikke-relaterede områder af matematik. For eksempel |_+_| kommer fra geometri, Og og jeg kommer fra algebra, og primitiverne 0 og 1 sammen med operationerne + og = kommer fra talteori. At de hænger sammen på en så enkel og uventet måde er et af den matematiske verdens store vidundere.

Og det peger på en anden komponent af matematisk skønhed: Matematiske mønstre skal være interessante på en eller anden måde. At genkende disse interessante mønstre har altid været en unik menneskelig evne.

Men i de senere år er maskiner blevet enormt dygtige mønstergenkendelsesværktøjer. Faktisk er de begyndt at udkonkurrere mennesker i ansigtsgenkendelse, genkendelse af objekter og en række forskellige spilroller.

Og det rejser en interessant mulighed: Kan maskinlæringsalgoritmer identificere interessante eller elegante mønstre i matematik? Kunne de overhovedet være dommere for matematisk skønhed?

I dag får vi et slags svar takket være Chai Wah Wu's arbejde ved IBMs TJ Watson Research Center i staten New York. Wu har bygget en maskinlæringsalgoritme, der har lært at identificere visse typer af elegance i matematiske strukturer og brugt den til at filtrere interessante sekvenser fra helt tilfældige.

Teknikken bruger en usædvanlig database kaldet Online Encyclopedia of Integer Sequences , oprindeligt skabt i 1960'erne af matematikeren Neil Sloane og lagt på nettet i 1996.

En heltalssekvens er en række tal, der er ordnet efter en regel. Berømte eksempler inkluderer primtallene - tal, der kun kan divideres med sig selv og 1 ( A000040 ); Fibonacci-sekvensen, hvor hvert led er summen af ​​de to foregående led ( A000045 ); og endda trivielle eksempler såsom rækkefølgen af ​​ulige tal eller primtal, der starter med en 7.

Faktisk kaster matematikerne, der driver OEIS, nettet bredt ud på jagt efter interessante sekvenser og har derfor inkluderet en bred vifte af eksempler med ren kulturel betydning. Disse inkluderer primtal, der indeholder sekvensen 666, det såkaldte tal på udyret.

Databasen inkluderer endda sekvensen af ​​primtal, der indeholder tallet 667 ( A138563 ). Dette tal blev anset for betydeligt, fordi når faxmaskiner var almindelige, ville folk ofte have et faxnummer, der var deres telefonnummer plus 1. Med andre ord, hvis deres telefonnummer var 123-4567, ville deres faxnummer være 123-4568. Ved denne tankegang er 667 udyrets faxnummer, og så af kulturel betydning (redaktørerne er jo mennesker).

I dag indeholder Integer Sequence-databasen omkring 300.000 sekvenser, og nye indsendes hver dag af både amatører og professionelle, mange af dem antyder nye og interessante problemer i matematik.

Opgaven, som Wu påtog sig, var at finde en måde at skelne disse interessante sekvenser fra tilfældigt genererede. Og hans idé var at finde empiriske love, der kan fungere som mål for interessanthed, der kunne skelne dem fra uinteressante.

Empiriske love er ikke matematiske teoremer i sig selv men er empiriske observationer af relationer, der synes at gælde for mange naturlige og menneskeskabte datasæt, siger Wu. Eksempler inkluderer Moores lov i elektroteknik og 80/20 Pareto-princippet i økonomi. Præcis hvorfor disse love gælder, er ikke fuldt ud forstået, men de holder ikke desto mindre.

Et empirisk princip, der gælder for mange datasæt, er Benfords lov. Dette blev opdaget af den canadiske matematiker og astronom Simon Newcomb i 1881. Newcomb bemærkede, at de tidligere sider i bøger med logaritmetabeller var mere tommelfinger end senere sider, hvilket tyder på, at logaritmer, der starter med 1-tallet, var mere almindelige.

Dette fik ham til at formulere princippet om, at i ethvert datasæt ville flere tal begynde med 1 end noget andet tal. Den samme idé blev genopdaget og populariseret af Frank Benford i 1930'erne.

Benfords lov gælder for en lang række datasæt, såsom elregninger, adresser, aktiekurser og så videre. Det er så forudsigeligt, at det kan bruges til at spotte svindel i finansielle konti. Men det gælder ikke for tilfældige sekvenser. Præcis hvorfor er ikke klart forstået.

Det er faktisk noget af et puslespil, at matematikere har opdaget, at Benfords lov gælder for nogle heltalssekvenser. Men hvor bredt gælder det i disse sekvenser?

For at finde ud af det målte Wu, hvor godt loven forudsiger fordelingen af ​​de første cifre i 40.000 sekvenser tilfældigt udvalgt fra OEIS-databasen.

Det viser sig, at Benfords lov dukker op meget oftere end forventet. Resultaterne viser, at mange, men ikke alle, sekvenser til en vis grad opfylder Benfords lov, siger Wu, som fandt ud af, at et andet empirisk princip kaldet Taylors lov også var bredt til stede.

Det næste spørgsmål var et enkelt skridt videre: Kunne Benfords lov og Taylors lov bruges til at skelne tilfældige sekvenser fra dem i OEIS?

For at finde ud af det genererede Wu 40.000 sekvenser af tilfældige heltal og tilføjede disse til de 40.000 sekvenser udvalgt fra OEIS. Han trænede derefter en maskinlæringsalgoritme til at spotte OEIS-sekvenser ved hjælp af Benfords lov og Taylors lov og til at skelne dem fra tilfældige sekvenser.

Resultaterne er imponerende. Algoritmen arbejdede med en nøjagtighed på 0,999 og en præcision på 0,9984. Det er vigtigt, fordi det opretter muligheden for en automatiseret proces til at spotte interessante sekvenser.

En ansøgning er umiddelbart synlig. De matematikere, der driver OEIS, skal i øjeblikket behandle omkring 10.000 indsendelser om året. Så en måde at automatisk se det mest interessante kunne være nyttig.

Tilgangen har dog nogle væsentlige begrænsninger. Matematikere har defineret mange interessante og vigtige sekvenser, der har et uendeligt antal led, men som er svære at beregne. Derfor indeholder databasen kun en håndfuld af disse termer. Disse er naturligvis ikke egnede til denne form for maskinbaseret analyse.

Det bredere spørgsmål er, om denne tilgang kan identificere elegance eller skønhed i matematik. Som Wu spørger: Kan maskinlæring identificere kvalitative egenskaber ved videnskabelig viden; dvs. kan vi se, om et videnskabeligt resultat er elegant, enkelt eller interessant?

Dette mål er måske ikke helt forgæves. Hvis empiriske love som Benfords og Taylors er en indikator for interessanthed, som dette værk antyder, så kan denne algoritme måske opfattes som en dommer af elegance, i det mindste på et eller andet niveau.

Euler, af det samme navn og en af ​​de største matematikere i historien, ville helt sikkert blive fascineret.

Ref: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Kan maskinlæring identificere interessant matematik? En udforskning ved hjælp af empirisk observerede love

skjule