Domino-kædereaktionernes nysgerrige matematik

Du har sikkert set dominoeffekten i aktion, hvor en række af stående plader vælter successivt. Normalt har dominobrikkerne alle samme størrelse, men en domino, der vælter, har faktisk momentum nok til at skubbe en større over. Så det er muligt at oprette en række successivt større dominobrikker, der kan væltes ved at trykke på en lille plade i begyndelsen - en dominokædereaktion.

Så her er et interessant spørgsmål. Hvor meget større kan hver efterfølgende domino være?

I dag tager JM J van Leeuwen ved Leiden Universitet i Holland dette problem i nakken og giver det en god matematisk rystelse. Det viser sig, at svaret – den maksimale vækstfaktor – ikke er helt så simpelt, som problemet kunne antyde.

Der er forskellige videoer, såsom denne , på internettet, der giver en god demonstration af kædereaktionseffekten. Standardtankegangen er, at en domino kan vælte en anden omkring 1,5 gange så stor, forudsat at afstanden mellem dem er optimal.

Den grundlæggende fysik er ligetil. At stå en domino på dens ende lagrer en vis mængde potentiel energi, som frigives ved at skubbe den over. Imidlertid er kraften, der kræves for at vælte dominoen, mindre end den kraft, den genererer, når den falder. Det er denne kraftforstærkning, der kan bruges til at vælte større dominobrikker.

Men djævelen er i detaljen, da der er forskellige måder, hvorpå dominobrikkerne mister energi, når de vælter. For eksempel kommer en væltende domino til at hvile på sin nabo. Så kollisionerne er uelastiske, hvilket er hovedkilden til tabt energi. Og i praksis kan dominobrikkerne glide langs gulvet, når de bliver ramt, og det kan alvorligt hindre væltning.

Så van Leeuwen laver en række forenklinger i sin matematiske analyse. Han antager, at friktionen mellem jorden og dominobrikkerne reelt er uendelig, så de ikke kan glide. Han antager, at kollisionerne er fuldstændig uelastiske, så dominobrikkerne forbliver i kontakt med hinanden, når de støder sammen. Han antager også, at dominobrikkerne, når de først er i kontakt med hinanden, glider friktionsfrit over hinanden.

Givet disse antagelser viser han så, at med optimal afstand, kan hver efterfølgende domino ikke være mere end cirka dobbelt så stor som den foregående, hvilket er en maksimal vækstfaktor på ikke mere end cirka 2.

Det er væsentligt flere, end man tidligere har antaget. Han indrømmer, at det nok er urealistisk i praksis at nå denne grænse, fordi antagelserne aldrig kan holde perfekt. For eksempel vil dominobrikker altid glide en lille smule.

Ikke desto mindre fører selv en vækstfaktor på 1,5 til nogle ekstraordinære kædereaktioner. En serie på 13 dominobrikker, der vokser med denne hastighed, vil forstærke den kraft, der er nødvendig for at skubbe de mindste med en faktor på 2 mia. Og der skal ikke en særlig lang serie til, før de største dominobrikker er på størrelse med skyskrabere.

Underholdende matematik!

Ref: arxiv.org/abs/1301.0615 : Domino-forstørrelse

skjule