En ny måde at gøre andengradsligninger nemme på

De gamle babyloniere var en bemærkelsesværdig flok. Blandt mange ekstraordinære præstationer fandt de en nu berømt matematisk løsning på en ubehagelig udfordring: at betale skat.

Det særlige problem for den almindelige arbejdende babyloner var dette: Givet en skatteregning, der skal betales i afgrøder, hvor meget skal jeg øge størrelsen af ​​min mark for at betale den?

Denne opgave kan skrives ned som en andengradsligning på formen Ax2+Bx+C=0. Og det løses med denne formel:

I dag, over 4.000 år senere, har millioner af mennesker den kvadratiske formel ætset ind i deres sind takket være den måde, matematik undervises på over hele planeten.

Men langt færre mennesker kan udlede dette udtryk. Det er også på grund af den måde, matematik undervises på - den sædvanlige udledning er afhængig af et matematisk trick, kaldet at fuldføre kvadratet, som er langt fra intuitivt. Faktisk, efter babylonierne, tog det matematikere mange århundreder at falde over dette bevis.

Før og siden har matematikere fundet en lang række andre måder at udlede formlen på. Men alle af dem er også vanskelige og ikke-intuitive.

Så det er let at forestille sig, at matematikere må have udtømt problemet. Der kan bare ikke være en bedre måde at udlede den kvadratiske formel på.

Indtast Po-Shen Loh, en matematiker ved Carnegie Mellon University i Pittsburgh, som har fundet en enklere måde - en der ser ud til at være gået ubemærket hen i disse 4.000 år.

Lohs tilgang er ikke afhængig af at fuldføre kvadratet eller andre vanskelige matematiske tricks. Faktisk er det simpelt nok til at fungere som en generel metode i sig selv, hvilket betyder, at eleverne slet ikke behøver at huske formlen. Afledningen har potentialet til at afmystificere den kvadratiske formel for studerende verden over, siger han.

Den nye tilgang er ligetil. Det starter med at observere, at hvis en andengradsligning kan faktoriseres på følgende måde:

Så er højre side lig med 0 når x=R eller når x=S. Så ville det være rødderne til kvadratisk.

At gange ud i højre side giver

Dette er sandt, når -B=R+S og når C=RS.

Nu kommer den smarte smule. Loh påpeger, at tallene, R og S, summeres til -B, når deres gennemsnit er -B/2.

Så vi søger to tal på formen -B/2±z, hvor z er en enkelt ukendt størrelse, siger han. Vi kan så gange disse tal sammen for at få et udtryk for C. Altså

Så giver nogle simple omarrangeringer

Hvilket betyder, at løsningen til en andengradsligning er:

Voilà! Det er den kvadratiske formel.

[Den mere generelle version kan udledes ved at dividere ligningen Ax2+Bx+C=0 med A for at give x2+B/Ax+C/A=0 og derefter gentage ovenstående proces.]

Det er en meget væsentlig forbedring i forhold til den tidligere metode, og Loh viser hvorfor med et simpelt eksempel.

Find rødderne af følgende andengrad: x2 - 2x+4=0

Den traditionelle metode ville være at beregne værdier for A, B og C og sætte dem ind i den kvadratiske formel. Men Lohs tilgang løser problemet intuitivt. Det første skridt er at tænke, at de to rødder af ligningen skal være lig med -B/2±z = 1±z

Og fordi deres produkt skal være C=4, kan vi skrive:

Så rødderne er

At forsøge det samme problem ved hjælp af den traditionelle metode er meget vanskeligere. Fortsæt, giv det en chance! Den nye tilgang er meget nemmere og mere intuitiv, ikke mindst fordi den slet ikke kræver, at formlen skal huskes.

Et interessant spørgsmål er, hvorfor ingen er stødt på og delt denne metode i vid udstrækning før.

Loh siger, at han faktisk ville blive meget overrasket, hvis denne tilgang helt har unddraget sig menneskelig opdagelse indtil i dag, givet de 4.000 års historie om dette emne, og de milliarder af mennesker, der har stødt på formlen og dens bevis. Alligevel er denne teknik bestemt ikke udbredt eller kendt.'

Loh har søgt i matematikkens historie efter en tilgang, der ligner hans, uden held. Han har set på metoder udviklet af de gamle babyloniere, kinesere, grækere, indere og arabere samt moderne matematikere fra renæssancen og frem til i dag. Ingen af ​​dem ser ud til at have taget dette skridt, selvom algebraen er enkel og har været kendt i århundreder.

Så hvorfor nu? Loh mener, at det hænger sammen med den måde, den konventionelle tilgang beviser, at andengradsligninger har to rødder. Måske skyldes det, at det faktisk er matematisk ikke-trivielt at komme med den omvendte implikation: Det har altid to rødder, og at de rødder har sum −B og produkt C, siger han.

Loh, som er matematikunderviser og populær i nogen grad, opdagede sin tilgang, mens han analyserede matematikpensum for skolebørn med det formål at udvikle nye forklaringer. Afledningen opstod fra denne proces.

Spørgsmålet er nu, hvor vidt det vil sprede sig og hvor hurtigt. For at fremskynde adoption, Loh har lavet en video om metoden . Uanset hvad, ville babylonske skatteberegnere helt sikkert have været imponeret.

Ref: arxiv.org/abs/1910.06709 : Et simpelt bevis på den kvadratiske formel

Rettelse: Vi ændrede en sætning for at sige, at metoden aldrig har været udbredt før og inkluderede et citat fra Loh.

skjule