211service.com
Første aperiodiske flisebelægning med en enkelt form
Problemet med fliselægning af et fly har fascineret både bygherrer og matematikere siden umindelige tider. Ved første øjekast er opgaven ligetil: firkanter, trekanter, sekskanter gør det hele tricket og producerer velkendte periodiske strukturer. Ditto et vilkårligt antal uregelmæssige former og kombinationer af dem.
Et meget vanskeligere spørgsmål er at spørge, hvilke former der kan flisebelægge et plan i et mønster, der ikke gentager sig. I 1962 opdagede matematikeren Robert Berger det første sæt fliser, der gjorde tricket. Dette sæt bestod af 20.426 former: ikke et sæt nemt at flise dit badeværelse med.
Med en varm respekt for hjemmeforbedringsmidler reducerede Berger senere sættet til 104 former, og andre har siden reduceret antallet yderligere. I dag er de mest berømte Penrose aperiodiske fliser, opdaget i begyndelsen af 1970'erne, og som kan dække et fly med kun to former: drager og dart.
Problemet med at finde en enkelt flise, der kan klare opgaven, kaldes einstein-problemet; intet med den store mand at gøre, men fra tyskeren for en– ein–og for tile–stein. Men jagten på en einstein har vist sig at være frugtesløs. Indtil nu.
I dag annoncerer Joshua Socolar og Joan Taylor ved Duke University, at de har løst Einstein-problemet, og i processen har de opdaget en helt ny måde at gribe problemet an på.
Flisen, de har opdaget, er i det væsentlige en modificeret sekskantform. Men de bruger et par tricks for at opnå resultatet. For det første tillader de sig selv at bruge en flise og dens spejlbillede til at flisebelægge et fly på en aperiodisk måde.
Det er klart, at nogle fliselæggere kan føle, at dette bøjer reglerne lidt, så Socolar og Taylor fortsætter med at vise, at spejlbilledet ikke er nødvendigt, hvis flisen tillades en 3D-form (se nedenfor).
Flisen præsenteret her er det eneste kendte eksempel på en aperiodisk flise, siger de.
Det er et imponerende resultat. Efter at Penrose afslørede sine aperiodiske fliser, påpegede fysikere, at visse krystaller antog lignende mønstre. Det bliver interessant at se, om naturen også har opdaget Socolar og Taylors løsning.
Selvfølgelig efterlader arbejdet et væsentligt problem åbent: er det muligt at flisebelægge et plan med et ikke-gentaget mønster ved hjælp af en enkelt 2D-flise?
Jeg forestiller mig, at Taylor og Socolar forundrer sig over en badeværelsesvæg i dette øjeblik.
Ref: arxiv.org/abs/1003.4279 : En aperiodisk sekskantet flise