Hvordan man forvandler den komplekse matematik i vektorregning til simple billeder

Tilbage i 1948 udgav tidsskriftet Physical Review et papir med titlen Rum-tid tilgang til kvanteelektrodynamik af en ung fysiker ved navn R.P. Feynman ved Cornell University. Papiret beskrev en ny måde at løse problemer i elektrodynamik ved hjælp af matricer. Imidlertid huskes det i dag for en meget mere kraftfuld opfindelse - Feynman-diagrammet, som dukkede op der på tryk for første gang.

Feynman-diagrammer har haft en enorm indflydelse i fysik. De er billedgengivelser af matematikken, der beskriver samspillet mellem subatomære partikler. Matematisk er hver interaktion en uendelig række, så selv simple interaktioner mellem partikler er fantastisk komplekse at skrive ned på denne måde.

Feynmans geni var at repræsentere disse serier med enkle linjer i et grafisk format, så forskerne kunne tænke partikelfysik på nye og spændende måder.

Feynman og andre begyndte straks at udvide deres ideer ved hjælp af denne grafiske stenografi. Faktisk skrev den amerikanske fysiker Frank Wilcjek, som arbejdede med Feynman i 1980'erne, engang: De beregninger, der til sidst gav mig en Nobelpris i 2004, ville have været bogstaveligt talt utænkelige uden Feynman-diagrammer.

Selvfølgelig er mange andre områder af fysik afhængige af kompleks matematik. Og det rejser det interessante spørgsmål om, hvorvidt grafikbaserede innovationer kunne forenkle disse beregninger og måske kickstarte en ny æra med innovation, ligesom Feynman gjorde.

Indtast Joon-Hwi Kim ved Seoul National University i Sydkorea og et par kolleger, der har fundet på en lignende innovation til vektorregning - en grafikbaseret stenografi for et af de mest almindelige og kraftfulde matematiske værktøjer inden for naturvidenskab. Vi forventer, at grafisk vektorregning vil sænke barriererne i at lære og praktisere vektorregning, som Feynman-diagrammer gjorde i kvantefeltteorien, siger de.

Først lidt baggrund. Vektorregning er den gren af ​​matematik, der beskæftiger sig med differentiering og integration af vektorfelter. Grunden til, at det er så vigtigt i fysik, er, at mere eller mindre alt i universet kan beskrives i form af vektorfelter – elektromagnetiske felter, gravitationsfelter, væskestrøm og så videre.

Det er derfor, at enhver fysik- og ingeniørstuderende bruger mange glade timer på at kæmpe med matematikken og den mystiske notation, som det kræver. Problemet er, at vektorfelter er indviklede entiteter - de tildeler en enkelt vektor til hvert punkt i det tredimensionelle rum og kan i sig selv være repræsentationer af mere komplekse matematiske objekter kaldet differentiable manifolds. Så på sit aller enkleste kan et vektorfelt være en uendelig liste af vektorer.

Matematikere repræsenterer disse felter ved hjælp af en tilgang kaldet indeksnotation. En vektor kan skrives som til hvor jeg = 1, 2 eller 3 i tredimensionelt rum. En anden måde at skrive dette på er: = [ til en, til to, til 3].

Problemerne opstår, når disse størrelser interagerer matematisk. Vektorfelter kan ganges med skalarer eller med hinanden på to forskellige måder, kendt som et prikprodukt og et krydsprodukt. Og resultaterne kan være fantastisk komplekse - enorme, multidimensionelle matricer.

I alle disse tilfælde skal indeksene for de involverede vektorfelter spores omhyggeligt. Enhver fysiker vil vide, hvor let det er at miste et indeks, og den smerte, der er forbundet med at finde det igen

Så er der udfordringen med at finde ud af, hvordan disse felter ændrer sig over tid, eller i forhold til en anden variabel. Dette er problemet med differentiering, for hvilket fysikere har udviklet en række værktøjer kendt som operatører - måske det mest berømte er operatør .

Det fremskridt, Kim og kolleger har gjort, er at udvikle en grafikbaseret notation, der erstatter indeksnotationen. De repræsenterer en vektor som en boks med en linje knyttet til den. Derimod har en skalar ingen linjer, der strækker sig fra den.

Når to vektorer formerer sig sammen via et prikprodukt, er resultatet skalær mængde. Kim og cos notation sørger automatisk for dette. I et prikprodukt forbinder de linjer, der er forbundet med de to vektorer, hinanden og skaber et objekt uden ydre linjer - med andre ord en skalar.

Men et krydsprodukt mellem to vektorer producerer en anden vektor, og igen håndterer Kim og cos notation dette automatisk. Grafikken for et krydsprodukt er y-formet, hvor linjerne fra de to vektorer forbinder til en tredje, der strækker sig væk. Dette danner med andre ord en vektor.

Dette er blot begyndelsen. Forskerne fortsætter med at beskrive en lang række andre matematiske værktøjer, såsom del-operatoren sammen med forskellige vigtige identiteter, der bruges i vektorregning. Og de udvider deres ideer til tensorer, som er mere komplekse matematiske objekter, hver med to eller flere indekser.

Resultaterne viser en bemærkelsesværdig økonomi. Kim og co viser, hvordan deres notation forvandler komplekse matematiske udtryk til relativt simpel grafik, ligesom Feynman-diagrammer. Sproget er meget intuitivt og forenkler automatisk tensorielle udtryk, siger de.

Her er der en betydelig nytteværdi. Kim og co siger, at deres tilgang ændrer vektorfeltregning til en visuel opgave, snarere som at bygge med legoklodser. Som et barn, der leger med pædagogisk legetøj såsom legoklodser eller magnetiske byggepinde, vil det være en underholdende oplevelse at 'klodte med de dansende diagrammer', siger de. Da Feynman-diagrammer er det mest naturlige sprog til at beskrive den mikroskopiske proces af elementarpartikler, er den grafiske notation det kanoniske sprog i vektorregningssystemet.

Det er en stor påstand med et stort potentiale. Der er ingen tvivl om, at Feynman-diagrammer har ændret den måde, fysikere tænker partikelfysik på. Men vektorregning har en endnu større rækkevidde som det matematiske grundlag for meget af moderne fysik og teknik.

Det store spørgsmål er, hvor bredt ideerne vil spredes. Det vil afgøre, om denne grafiske notation udløser en transformativ ændring i den måde, vi tænker om fysik på eller danner en mærkelig fodnote i matematisk opfindelses historie. Uanset hvad, ville Feynman helt sikkert have været underholdt.

Ref: arxiv.org/abs/1911.00892 : Forøgelse af vektorregning med den grafiske notation

skjule