'Infinity Computer' beregner området af Sierpinski-tæppet nøjagtigt

Et Sierpinksi-tæppe er et af de mere berømte fraktalobjekter i matematik. At oprette en er en iterativ procedure. Start med en firkant, del den i ni lige store firkanter og fjern den centrale. Det efterlader otte firkanter omkring et centralt firkantet hul.

I den næste iteration skal du gentage denne proces med hver af de otte resterende firkanter og så videre (se ovenfor).

Et interessant problem er at finde arealet af en Sierpinski-trekant. Det er klart, at dette ændres med hver iteration. Forudsat at det oprindelige kvadrat har areal lig med 1, er arealet efter den første iteration 8/9. Efter den anden iteration er den (8/9)^2; efter den tredje er det (8/9)^3 og så videre.

Så arealet af et Sierpinski-tæppe efter n iterationer er (8/9)^n. Det er ligetil.

Men hvad er tæppets areal efter et uendeligt antal iterationer?

Almindelig matematik har intet svar på dette spørgsmål, fordi den mangler redskaberne til at håndtere uendeligheden. I stedet ser matematikere på egenskaberne ved det matematiske system, og hvordan det opfører sig, når det tenderer mod det uendelige. De har endda masser af formelle værktøjer til at udforske disse grænser. Men egenskaberne i det uendelige må antages.

I dette tilfælde har tæppets areal en tendens til nul, da antallet af iterationer har en tendens til uendelig, så arealet af et Sierpinski-tæppe er nul.

Det efterlader mange matematikere med en sur smag i munden. Årsagen er, at området på et Sierpinski-tæppe tæt på det uendelige burde være meget følsomt over for dets oprindelige form, uanset om det er et kvadratisk eller et andet mønster. Men processen med at finde grænserne slører denne adfærd.

For eksempel, i stedet for at starte med en firkant, forestil dig at starte med formen i øverste venstre hjørne af figuren ovenfor, lad os kalde det en firkantet doughnut. Den firkantede donut består af otte firkanter, hver med sider af længden 1/3. Det er klart, at området af dette Sierpinksi-tæppe har en tendens til nul, da n har en tendens til uendeligt.

Men det firkantede doughnut-tæppe er et skridt foran det traditionelle Sierpinski-tæppe, men det går tabt i den traditionelle tilgang. I det uendelige behandles de som ligeværdige.

Hvis det ikke lyder særlig betydningsfuldt, så forestil dig at køre processen omvendt, begyndende fra det uendelige og arbejde baglæns for at ende med en firkantet eller en firkantet donut eller en anden form i tæppesekvensen.

I så fald kan hver form skabes af det samme (uendelige) antal trin, så det er ikke muligt at skelne mellem dem. Det er klart absurd.

I dag løser Yaroslav Sergeyev, en matematiker ved University of Calabria i Italien dette problem (og den analoge tredimensionelle version kaldet Mengers svamp).

I de sidste par år har Sergeyev kæmpet for en ny type matematik kaldet infinity computing. Den grundlæggende idé er at erstatte begrebet uendelighed med et nyt nummer, som Sergeyev kalder grossone, som han skriver sådan her:

Sergejev begynder med at tilføje et nyt aksiom til aksiomet for reelle tal, som han kalder det uendelige enhedsaksiom. Dette introducerer grossone – den uendelige enhed.

Fordi det er styret af de andre aksiomer for reelle tal, opfører grossone sig også meget som en. Så det er muligt at gange grossone, dividere det, lægge til det og trække fra det, ligesom det er muligt med andre reelle tal.

Det gør pludselig at arbejde i uendelighed meget lettere ved at bruge en computerproces, som Sergeyev kalder uendelighedscomputeren, som har det ekstra aksiom indbygget. Introduktionen af ​​grossone giver mulighed for at arbejde med finite, uendelige og uendelige størrelser numerisk, siger han.

For at vise dets kraft, arbejder han gennem Sierpinski-tæppeeksemplerne ovenfor, og afslører, hvordan det er muligt at holde styr på antallet af iterationer i det uendelige blot ved at tilføje eller trække reelle tal fra grossone. Hvis en firkant kan oprettes i grossone-trin, kan en firkantet donut oprettes i -grossone minus 1- trin. På denne måde er det en simpel sag at skelne mellem enhver af formerne i tæppesekvensen.

Det ser praktisk ud. Manglende evne til at holde styr på matematiske processer på eller tæt på det uendelige på en konsekvent måde har frustreret matematikere og fysikere i århundreder.

Så hvis Sergeyev har fundet en vej rundt om dette, der virker, er det klart et meget betydeligt fremskridt.

Ref: arxiv.org/abs/1203.3150 : Evaluering af de nøjagtige uendelige værdier af arealet af Sierpinskis tæppe og volumen af ​​Mengers svamp

skjule